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Glossaire

fractal

Définition : Un fractal est généralement considéré comme une « forme géométrique globale ou fragmentée qui peut être divisée en sous-parties, dont chacune est (au moins approximativement) une copie en réduction de l’ensemble ». Cette propriété est appelée « auto-similarité ».

Un fractal a souvent les propriétés suivantes :

  1. Il a une structure fine à des échelles arbitrairement très petites.
  2. Il est trop irrégulier pour être décrit par le langage traditionnel de la géométrie euclidienne.
  3. Il présente la propriété d’être auto-similaire (au moins approximativement).
  4. Il présente une dimension particulière qui est supérieure à ses dimensions topologiques (au moins dans le plan).
  5. Il a une définition simple et récursive

Comme les fractals apparaissent similaires à tous niveaux de grandeur, ils peuvent être dits infiniment complexes , en termes informels. Des objets naturels qui peuvent être proches des fractals comprennent les nuages, les chaînes de montagnes, les éclairs, la ligne des côtes, et les flocons de neige. Pourtant, tous les objets qui ont une auto-similarité ne sont pas des fractals – par exemple, un segment de ligne droite est d’essence auto-similaire, mais ne présente pas les autres caractéristiques lui permettant d’être une fractale.

Propriétés mathématiques : Le caractère fractal est relatif à un sous-ensemble (ou partie) F d'un espace plus vaste E dont les propriétés topologiques sont assez particulières : sa « dimension » n'est pas un nombre entier. On calcule la « dimension » en tentant de recouvrir l'objet par des sphères (disques dans le plan) de rayon R, et en comptant le nombre N de sphères requises pour couvrir F. Lorsque R tend vers ‘0’, N tend généralement vers l'infini, mais de diverses façons selon F. Ainsi, lorsque F est un segment de droite de longueur 1, il faudra à peu près 10 boules (disques) de rayon 1/10 pour le couvrir, 100 boules de rayon 1/100 etc. Le produit [N.R] est ici constant, et aura (arbitrairement) la dimension 1. Dans un plan, si on envisage le cas simple d’un carré (plein) de côté 1, il faudra à peu près 100 boules de rayon 1/10 ; il sera en fait plus facile de changer de topologie et de choisir celle où les sphères sont des cubes. On peut constater que pour le carré envisagé plus haut, N est proportionnel à 1/R². L’introduction de logarithmes permet d’envisager une dimension 2, par exemple :

-log(N)/log(R)

Il existe aussi des parties du plan qui ont une dimension comprise entre 1 et 2, on les appelle des fractales. Certaines fractales sont plus « régulières » que d'autres, elles bénéficient de l'auto-similarité en ce sens qu’elles contiennent une copie d’elles-mêmes en taille réduite. De bons exemples peuvent en être trouvés avec les brocolis et surtout les choux romanesco. La création de telles formes peut être le résultat d'un système dynamique sous-jacent mais ce n’est pas très convaincant ni universel. La meilleure tentative pour expliquer ces phénomènes est la théorie constructale. (ν)

 

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